SOAL 3

Posted: 26 Mei 2011 in TUGAS BESAR ANALISA DINAMIKA STRUKTUR

DIKETAHUI :
Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut :

L          = 6 m               q1         = 3 t/m                           g          = 980 cm / detik2

h1         = 6 m               q2         = 3 t/m                         k1         = 5 x 103 kg/cm

h2         = 5 m               q3         = 2,5 t/m                    k2         = 4 x 103 kg/cm

h3         = 4 m                                                                     k3         = 3 x 103 kg/cm

DIMINTA :

Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro

PENYELESAIAN :

Perhitungan Massa :

ω1 = q1 . L

= ( 3 x 103 ) x 6

= 18.000 kg

ω2 = q2 . L

= ( 3 x 103 ) x 6

= 18.000 kg

ω3 = q3 . L

= ( 2,5 x 103 ) x 6

= 15.000 kg

Model Matematik

Free Body

Berdasarkan keseimbangan gaya – gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD (Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut :

m1 . y1 + k1 . y1 – k2 ( y2 – y1 )                = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 1 )

m2 . y2 + k2 ( y2 – y1 ) – k3 ( y3 – y2 )   = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 )

m3 . y3 + k3 ( y3 – y2 )                                = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 3 )

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

m1 . y1 + ( k1 + k2 ) y1 – k2 . y2                             = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 4 )

m2 . y2 – ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – k3 . y3        = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 5 )

m3 . y3 – k3 . y2 + k3 . y3                                        = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 6 )

Atau bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi :

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 7 )

Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 )

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 )

Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 )

Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :

_ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 )

Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi :

( 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2                    = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )

-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3       = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )

-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3                  = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )

Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi :

  • Persamaan ( 12 )

( 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2             = 0

( 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2               = 0

9 – 1,8367 λ – 4 ø2                      = 0

4 ø2     = 9 – 1,8367 λ

ø2        = 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )

  • Persamaan ( 13 )

-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3                                               = 0

-4 x 1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3            = 0

-4 + 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3      = 0

11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3                                  = 0

3 ø3     = 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2

ø3        = 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811   λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )

  • Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 )

-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3                                               = 0

-3 (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 )  = 0

-6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ  +  3,748 λ2 – 0,4302 λ3   = 0

5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3                = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )

Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba – coba dan diperoleh :

Gambar Normal Mode

Dalam bentuk matriks, dapat ditulis :

Sedangkan vektor frekuensi sudutnya :

Partisipasi tiap mode

= 287,4168 kg det2 / cm

= 93,28702 kg det2 / cm

= 104,2484 kg det2 / cm

Maka Partisipasi tiap mode adalah :

Respon struktur akibat beban gempa El Centro

Integrasi Numerik

Dipakai nilai t = 0,042 detik dan nilai g = 980 cm / det2 maka nilai a,b dan k

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s